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Posts Gödel, Escher, Bach Chapter IV: Consistency, Completeness, and Geometry #
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Chapter IV. Consistency, Completeness, and Geometry

Implicit and Explicit Meaning #

Explicit Meaning of the Contracrostipunctus #

레코드 플레이어 이야기에 담긴 두 단계의 동형관계:

  • Level One: isomorphism between arbitrary groove patterns and air vibrations;
  • Level Two: isomorphism between arbitrary air vibrations and phonograph vibrations.

각 단계의 동형관계에서 각 단계의 의미가 유발됨

여기에서 중요한 것은 Level One 의미의 생성이 자동으로 Level Two 의미의 생성을 유발한다는 점. Level Two 없이 Level One만 얻는 것은 불가능

Goblet 이야기도 마찬가지.

Implicit Meanings of the Contracrostipuncus #

이 대화에는 여러 암묵적 의미가 담겨 있음.

그 중 하나는 두 단계에서의 "backfiring":

  • Level One: Goblets and records which backfire;
  • Level Two: The Tortoise's devilish method of exploiting implicit meaning to cause backfires - which backfires.

심지어는 Level One과 Level Two 사이에도 Isomorphism이 있음:

... we can even make an isomorphism between the two levels of the story, in which we equate the way in which the records and goblet boomerang back to destroy themselves, with the way in which the Tortoise's own fiendish method boomerangs back to get him in the end.

Mapping Between the Contracrostipunctus and Gödel's Theorem #

Contracrostipunctus를 쓴 가장 깊은 이유는 괴델의 정리 사이의 대응을 만들기 위한 것:

  • phonograph <-> axiomatic system for Number theory
  • low-fidelity phonograph <-> "weak" axiomatic system
  • high-fidelity phonograph <-> "strong" axiomatic system
  • "Perfect" phonograph <-> complete system for number theory
  • "blueprint" of phonograph <-> axioms and rules of Formal system
  • record <-> string of the formal system
  • playable record <-> theorem of the axiomatic system
  • unplayable record <-> nontheorem of the axiomatic system
  • sound <-> true statement of number theory
  • reproducible sound <-> interpreted theorem of the system
  • unrepreducible sound <-> true statement which isn't a theorem
  • "I Cannot Be Played on Record Player X" <-> "I Cannot Be Derived in Formal System X"

아직 괴델의 정리를 이해하지 못했다고 걱정할 필요 없음. 몇 챕터 더 읽으면 이해할 수 있을 것.

The Art of the Fugue #

잠깐 곁다리로 J. S. Bach의 The Art of the Fugue 이야기.

  • Musical Offering을 작곡하고 이에 영감을 받아 시작한 작업인 것으로 추측
  • Fugue의 모든 작법을 담아내려는 시도. 하지만 끝마차지 못하고 별세
  • 자기 스스로의 이름을 세번째 주제에 담아냄(BACH)
    • H는 당시 독일식 표기로 현대의 B와 같은 뜻
    • B는 B flat
    • 따라서 현대식으로 표기하면 B flat, A, C, B

Problems Caused by Gödel's Result #

대화편과 괴델의 정리 사이의 대응:

  • 충분히 강력한 전축은 완전할 수 없다. 즉 레코드에 담긴 모든 음을 재생할 수 없다.
  • 충분히 강력한 형식 체계는 완전할 수 없다. 즉 모든 참인 명제를 정리로 유도할 수 없다.

거북이 지적한 바와 같이 우리가 전축에 대해 비현실적인 기대를 갖지 않는 한, 이는 결함이 아니다. 수학에서도 마찬가지

1900년대 초반 수학자들의 시도는 이러한 비현실적 기대에 기반하고 있었으나 1931년에 그 기대가 무너짐.

불완전성(Incompleteness)이란:

The fact that truth transcends theoremhood, in any given formal system, is called "incompleteness" of that system.

이해 못한 문장:

A most puzzling fact about Gödel's method of proof is that he uses reasoning methods which seemingly cannot be "encapsulated" - they resist being incorporated into any formal system.

The Modified pq-System and Inconsistency #

동형관계(Isomorphisms)에서 어떻게/왜 의미가 나타나는지 고찰하기 위해 기존의 pq-System을 수정.

공리 규칙을 추가:

  • If x is a hyphen-string, then xp-qx is an axiom.

외적 비일관성:

  • 2 plus 1 euqlas 2
  • 2 plus 2 equals 3

내적 비일관성:

  • -p-q-- 이면서 동시에 -p-q-

하지만 위 논의는 오류. 변형된 시스템을 기존 방식으로 "해석"했기 때문.

(일관성에 대한 정의는 아래 "The Possibility of Multiple Interpretations" 및 "Varieties of Consistency" 참고)

Regaining Consistency #

q를 "equals" 대신 "is greater than or equal to"로 해석하면 모든 비일관성이 사라짐

기존 해석을 새 시스템에 도입하려는 시도는 "horse-apple-happy"만큼이나 의미없음

The History of Euclidean Geometry #

Euclidean geometry의 평행선 공준 이야기

Euclid 자신도 다섯번째 공준을 못마땅하게 생각했던 것으로 추정됨:

Though he never explicitly said so, Euclid considered this postulate to be somehow inferior to the others, since he managed to avoid using it in the roofs of the first twenty-eight propositions. Thus, the first twenty-eight propositions belong to what might be called "four-postulate geometry" ... It is also often called absolute geometry.

유클리드 이례로 수많은 수학자들이 앞의 네 가지 공준만을 이용하여 다섯번째 공준을 유도해내려고(즉, 다섯번째 공준을 일반 정리로 취급하려고) 노력하였으나 실패함

The Many Faces of Noneuclid #

Noneuclid geometry의 탄생 과정을 간략히 서술.

단어에서 일상의 의미를 제거하여 얻어낸 성취:

The Saccherian propositions are only "repugnant to the nature of the straight line" if you cannot free yourself of preconceived notions of what "straight line" must mean. If, however, you can divest yourself of those preconceived images, and merely let a "straight line" be something which satisfies the new propositions, then you have achieved a radically new viewpoint.

Undefined Terms #

위 이야기는 pq-System 등 앞서 살펴본 Formal system 논의와 통한다.

특히 pq-System 및 그 변형에서 기호 q의 역할이 흥미롭다. 새로운 공리가 추가됨에 따라 의미가 변형되었기 때문.

마찬가지로 유클리드 기하학의 점, 선 등의 용어가 갖는 의미도 형식 체계의 정리(혹은 명제)에 의해 정해지는 것으로 생각하면 어떨까. 이게 바로 비유클리드 기하학을 발견한 사람들의 위대한 깨달음.

원래의 평행선 공준:

Given any straight line, and a point not on it, there exists one, and only one, straight line which passes hrough that point and never intersects the first line, no matter how far they are extended.

변형들:

  • 그러한 선이 "존재하지 않는다": Elliptical geometry
  • 그러한 선이 "최소한 두 개 존재한다": Hyperbolic geometry

점, 선 등의 용어를 명제에 의해 유도되는 의미로만 해석하면 기하학의 완전한 형식화에 한걸음 다가가게 됨. (the, if, and, join 등 일상 언어가 아직 쓰이고 있으므로 아직 완전하다고 할 수 없음)

명시적 정의가 없고 명제에 의해 암묵적으로만 의미가 부여되는 이러한 용어들을 Undefined term이라고 부름

The Possibility of Multiple Interpretations #

지금까지의 논의로 미루어볼때 일관성(consistency)이란 시스템 자체의 속성이 아니라 시스템+해석에 의해 부여되는 속성:

It now becomes clear that consistency is not a property of a formal system per se, but depends on the interpretation which is proposed for it.

Varieties of Consistency #

또다른 형식 체계:

  • 정리들: TbZ, ZbE, and EbT

해석1:

  • T: Tortoise
  • Z: Zeno
  • E: Egbert
  • xby: x beats y

해석2:

  • T,Z,E는 그대로
  • xby: x was invented by y

외적 일관성:

  • 특정 해석에 기반하여 보았을때 모든 명제가 참이면 외적으로 일관된 시스템
  • a system-plus-interpretation is consistent with the external world if every theorem comes out true when interpreted.

내적 일관성:

  • 특정 해석에 기반하여 보았을때 각 명제의 참/거짓 여부와 무관하게, 서로 모순되는 명제가 존재하지 않으면 내적으로 일관된 시스템
  • a system-plus-interpretation is internally consistent if all theorems come out mutally compatible when interpreted.
  • 해석1에 의하면 위 형식체계에는 내적 일관성이 있음
  • 해석2에 의하면 내적 일관성이 없음

이 장의 앞 섹션(The Modified pq-System and Inconsistency)에서 저자가 pq-System의 내적/외적 일관성을 언급할때 이 정의를 사용한 것.

Hypothetical Worlds and Consistency #

위 정의에 의하면 형식 체계의 내적 일관성을 이야기하려면, 형식 체계의 모든 정리에 대하여 모순없이 의미부여가 가능한 외부 세계가 존재해야함. 한편, 여기에서 "외부 세계"란 우리가 사는 실제 세상일 필요가 없고 상상할 수 있는 어떠한 세상(any imaginable world)이어도 무방.

하지만 이는 대단히 애매한 결론. 상상할 수 있는 세상이란?

  • 정사각원(square circle)이 존재하는 세상?
  • 녹색이면서 동시에 녹색이 아닐 수 있는 세상?
  • 물리법칙이 다른 세상?

상대적으로 상상하기 쉬운 세상과 그렇지 않은 세상이 존재. 상상하기 쉬운 세상은 물리적, 논리적, 수학적, 생물학적으로 타당해보이는 세상들.

(저자가 언급하고 있지는 않지만 진화심리학적으로 생각해보자면 인간의 본성과 잘 부합되는 종류의 상상들. 특히, How the Mind Works 5장 참고)

이 중에서 수학자, 논리학자들이 관심을 갖는 것은 주로 논리적/수학적 세상과의 일관성.

위 형식 체계에 대한 수학적/논리적으로 내적 일관성이 없는 해석:

  • T,Z,E: 세 개의 자연수
  • b: is bigger than

T,Z,E에 어떠한 수를 담아도 일관성이 없음.

내적 일관성에 대해 이야기하려면 해석이 부여되어야 한다는 점을 다시 확인할 수 있음.

Embedding of One Formal System in Another #

앞의 예시들에서 단어를 두 범주로 나눌 수 있음:

  • 범주1: 의미가 고정되어 있는 단어들
  • 범주2: 시스템이 일관성을 찾을때까지 계속 의미가 보정되는 단어들(undefined terms)

이런 식으로 기하학을 하려면 범주1에 해당하는 단어의 의미들이 기하학 외부 어딘가에서 미리 정해져야 함.

형식 체계는 보통 이와 같이 만들어짐. 예를들어...

  • 의도하는 수동적 의미(passive meanings; Gödel, Escher, Bach/Chapter II: Meaning and Form in Mathematics 중 "Active vs. Passive Meanings" 참고)를 기호에 부여할 수 있도록 공리와 유도 규칙을 정의하여 Formal System I을 고안
  • 더많은 기호를 갖는 더 큰 형식 체계인 Formal System II에 Formal System I을 포함시킴
  • Formal System I의 공리와 규칙은 Formal System II의 일부이므로 Formay System I에서 부여한 기호들의 의미는 Formal System II에서도 여전히 유효하게 유지됨
  • 이 기호들이 Formal System II의 더 많은 기호들에 의미를 부여하는, 변할 수 없는 뼈대 역할을 함
  • Formal System II는 다시 더 큰 Formal System III의 뼈대 역할을 하는 식으로 반복.

또다른 방식:

  • undefined terms의 수동적 의미를 일부 고정하는 시스템을 정의
  • 여기에 추가적인 공리와 규칙을 부여하여 undefined terms의 의미를 더 강하게 제약
  • (Absolute geometry에 서로 다른 다섯번째 공준을 추가하여 Euclidean vs. non-Euclidean geometry가 만들어지는 것이 이러한 방식의 사례)

Layers of Stability in Visual Perception #

우리는 이와 유사하게 계층적인 방식으로 새로운 지식과 어휘를 획득하고 친숙하지 않은 대상을 인식한다.

에셔의 Relativity:

  • 개별 계단을 인식하고 이를 바탕으로 전체 그림을 인식
  • 하지만 계단에 대한 인식을 전체 그림으로 확대하려고 하면 모순에 직면
  • 모순을 해소하기 위해 계단에 대한 인식(해석)을 바꾸려고 시도하지만 이미 늦었음. 계단을 다른 방식으로 인식하는 것은 불가능
  • 우리의 지각이 계층적으로 작동하기 때문에 우리는 어쩔 수 없이 모순으로 가득한 세상을 보거나, 아예 아무 의미없는 선들의 집합을 보는 수 밖에 없음.

기하학도 유사. 에셔의 작품과의 차이점이라면 비유클리드 기하학의 경우 일관성 있는 해석이 가능하다는 점.

물론 에셔의 그림에 일관성을 부여하는 대해서도 가상의 세상을 상상해볼 수도 있겠으나 그러한 세상은 생물학, 물리학, 수학, 심지어는 논리에도 위배되는 대단히 이상한 세상일 것.

Is Mathematics the Same in Every Conceivable World? #

수학 자체를 형식화하는 시스템이라면 내적 일관성과 외적 일관성의 경계가 사라질까?

모든 상상 가능한 세상에서 수학만큼은 항상 동일하다고 말할 수 있다면 그러할 것.

하지만 기하학의 평행선 공준에 대해 생각해보자. 비유클리드 기하학은 틀렸다고 해야하나? 그렇지 않음.

따라서 수학의 전체 체계가 모든 세상에서 동일할 것으로 간주할 수 없음. 그렇다면 모든 상상 가능한 세상이 공유하고 있는 것은 무엇인가?

최소한 논리는 공유되어야 소통이라는 것이 가능할 것. (선 사상에서는 이 가정조차 배제함. 논리적 모순과 비모순을 동등하게 취급. 이 사고 자체가 일관성 없으나, 선 사상은 비일관성을 수용하므로 문제가 되지 않음. 기묘한 재귀성)

Is Number Theory the Same in All Conceivable Worlds? #

정말 논리 말고는 공유되는 바탕이 없나?

표준 수론, 비표준 수론, 핵심 수론:

  • 수학의 적어도 일부만이라도 공유된다고 볼 수는 없을까?
  • 자연수라는 개념 자체를 기하학에서의 점, 선 등과 같이 undefined terms이라고 볼 수 있을까?
  • 그렇다면 기하학과 마찬가지로 수론에도 표준수론과 비표준수론이 있을 것
  • 또한 Absolute geometry에 해당하는, 핵심(core) 수론이라는 개념도 존재할 것. 다양한 수론들을 "수론"일 수 있게 만들어주는 핵심들.

현대의 수학자들의 견해:

  • 핵심 수론이 존재할 것이라 것에 동의. Peano arithmetic이라고 불림
  • 무한한 종류의 비표준 수론이 존재
  • 기하학과 달리 다양한 비표준 수론들은 현실에 응용함에 있어서 어떤 버전을 쓰건 차이가 없음

다양한 버전 중 어떤 것이 더 진짜인가:

  • 기하학의 경우 상대성이론으로 인해 표준 기하학이 더 진짜라고 말할 수 없게 됨
  • 수론의 경우는? 이 물음에 대해서는 이후의 장들에서 다룰 예정

Completeness #

Consistency:

When every theorem, upon interpretation, comes out true (in some imaginable world).

Completeness:

When all statements which are true (in some imaginable world), and which can be expressed as well-formed strings of the system, are theorems.

How an Interpretation May Make or Break Completeness #

변형된 pq-System에 어떤 해석을 붙이느냐에 따라 완전성이 생기거나 사라짐

완전성이 없는 해석:

q as "is greater than or equal to"

완전성이 있는 해석:

q as "equals or exceeds by 1"

Formal system에서 유도될 수 있는 정리의 수는 해석과 무관하게 유지됨. 해석에 따라 "완전성"이 달라지는 이유는 정리와 대응되어야 하는 참인 명제의 수가 달라지기 때문.

Imcompleteness of Formalized Number Theory #

곧 수론의 불완전성을 접하게 될 것텐데, 이 때마다 이 상황에서 벗어나기 위해 새로운 규칙을 추가하여 시스템을 더 강력하게 만들려고 시도할 것. 새로운 규칙을 추가할때마다 우리는 이번에야말로 시스템이 완전해졌다고 생각할테지만 사실은 그렇지 않음.

레코드 비유를 하자면:

  • 레코드 플레이어로 특정 레코드를 재생하려고 하는데 그 소리가 레코드 플레이어에 진동을 일으켜서 음악을 들을 수 없게 만드는 상황
  • 레코드 플레이어의 문제인지 레코드의 문제인지 테스트하려면? 1) 레코드 플레이어에 다른 레코드를 넣어봐서 잘 나오면 레코드 문제, 2) 레코드를 다른 레코드 플레이어에서 재생했는데 잘 나오면 레코드 플레이어 문제
  • 하지만 1), 2) 테스트를 모두 통과한다면? 이게 우리가 당면한 문제

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