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Posts Gödel, Escher, Bach Introduction: A Musico-Logical Offering #
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Gödel, Escher, Bach 서문 요약.

Bach #

1747년에 Frederick the Great의 궁에 Johann Sebastian Bach가 방문한 일화. 이때 대왕이 하사한 주제를 다듬어서 만든 곡이 The Musical Offering.

악보 첫장의 글귀:

Regis Iusfu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Refolula

"At the King's Command, the Song and the Remainder Resolved with Canonic Art"라는 뜻. 두문을 따면 Ricercar.

Ricercar는 현재 Fugue라고 불리는 음악 형식의 원래 이름.

Canons and Fugues #

Canon:

  • 각 성부(voice)를 이루는 음들이 최소 두 개 이상의 역할을 수행함
  • 그 밖에도 Canon에서 각 성부가 변형될 수 있는 다양한 방법을 소개
  • 중요한 점은 각 변형이 원래의 주제(theme)에 담긴 정보를 유지한다는 점(isomorphism)

Fugue:

  • 하나의 주제를 여러 성부가 변형하여 따른다는 점에서 Canon과 유사
  • 하지만 Canon에 비해 더 자유로운 편
  • Fugue의 특징 중 하나는 성부가 차례로 "들어온다"는 점. Fugue의 도입부는 하나의 성부가 주제를 연주하며 시작됨

An Endlessly Rising Canon #

The Musical Offering의 Canon 중 하나(Canon per Tonos):

  • C minor에서 시작하여 D minor로 전조하여 끝나는 방식을 반복
  • 무한히 조를 올리며 진행될 수 있음
  • 한편, 전조를 6번 하면 다시 C minor로(C, D, E, F, G, A, B, C)
  • 이 책에서 소개하는 이상한 고리(Strange Loops)의 첫번째 사례.

Strange Loops:

  • 위계 상에서 수준을 올리거나 내리다보면 다시 시작했던 곳으로 돌아오는 현상
  • Tangled Hierarchy도 같은 의미로 사용할 것

Escher #

저자가 보기에 Strange Loops를 시각적으로 가장 잘 표현한 작가는 M. C. Escher.

Strange Loops를 표현하는 작품들. Loose -> Tight 순으로:

  • Waterfall
  • Ascending and Descending
  • Drawing Hands

Gödel #

수학적 체계 내에서 Strange Loops를 발견한 Kurt Gödel.

Incompleteness Theorem:

  • Epimenides paradox를 수학의 언어로 나타낸 것
  • 수학적 추론 자체에 대한 수학적 추론
  • 1) 정리가 증명한 것이 무엇인가와 2) 어떻게 증명하였는가는 다른 문제. 이 책에서는 둘 모두를 다룰 것
  • 정리가 진주(pearl)라면, 증명 방법은 조개(oyster)와 같음. 진주는 간결하고 아름답지만 증명은 매우 복잡

괴델의 정리를 평범한 영문으로 풀어쓰면:

All consistent axiomatic formulations of number theory include undecidable propositions. (수론의 모든 정합적인 공리식은 결정불가능한 명제를 포함한다)

위키피디아의 풀이:

  • 정리1: Any effectively generated theory capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statement that is true, but not provable in the theory
  • 정리2: For any formal effectively generated theory T including basic arithmetical truths and also certain truths about formal provability, if T includes a statement of its own consistency then T is inconsistent.

수학적 대상과 수학적 대상에 대해 설명하는 문장을 구분하기. 수론으로 한정하자면:

  • 수(N)
  • 수의 속성에 대해 설명하는 문장(S)
  • #!dot/s;S->N

괴델의 통찰:

  • 문장을 수로 표현할 방법을 고안해낼 수 있다면, 해당 문장에 대해 설명하는 문장을 만들 수 있을 것
  • 즉 "수의 속성에 대해 설명하는 문장"에 대해 설명하는 문장이라는 이상한 고리를 만들 수 있음

괴델수(Gödel numbering):

  • 수의 속성에 대해 설명하는 문장을 이루는 각 기호 및 기호의 연쇄에 정수를 부여
  • 이를 통해 수의 속성에 대해 설명하는 각 문장이 특정 수(괴델수)를 갖게 됨
  • 수의 속성에 대해 설명하는 문장은 이제 두 가지 의미로 해석 가능:
    • 수의 속성에 대해 설명하는 문장(A)
    • 수의 속성에 대해 설명하는 문장을 설명하는 문장(B)
    • #!dot/s;"Meta S"->S->N

Epimenides paradox 집어넣기:

  • Meta S와 S를 일치시키기. 즉, 자기 자신에 대해 설명하는 문장(Gödel sentence; G)을 생성
  • G: "This statement of number theory does not have any proof"
  • #!dot/s;S->N [label="A"];S->S [label="B"]

한편, G에서 말하는 "proof"란 Principia Mathematica(by Bertrand Russell and Alfred North Whitehead)에서 말하는 엄밀한 의미의 증명을 뜻함:

  • 정리(theorem): 공리(axioms)를 주어진 규칙(rules)에 따라 조작하여 만들어진(derived) 문장들
  • 증명(proof): 공리에서 시작하여 일련의 규칙을 적용했을때 해당 정리를 유도해낼 수 있으면 정리를 증명한 것

G는 P.M. 내에서는 증명이 불가능하지만 참인 문장 (또는, 증명이 불가능하기 때문에 참인 문장?)

G의 함의:

  • P.M.의 시스템은 불완전(incomplete)하다.
  • 즉, P.M.의 증명 방식이 너무 약하기 때문에 증명할 수 없는 참인 명제들이 수론 내에 존재한다.
  • P.M. 뿐 아니라 이와 관련된 모든 체계("and Related Systems")가 마찬가지: "Gödel showed that provability is a weaker notion than truth, no matter what axiomatic system is involved. ... it showed that no fixed system, no matter how complicated, could represent the complexity of the whole numbers: 0, 1, 2, 3, ..."

Mathematical Logic: A Synopsis #

괴델의 정리가 얼마나 대단한 것이었는지 이해하려면 당시의 시대적 상황을 알아야 함. 이 섹션은 1931년 전까지의 수리논리학 역사에 대한 요약.

이 모든 것은 사고(reasoning)의 절차를 기계화(mechanize)하려는 시도에서 시작 (기원전 3~6세기):

Non-Euclidean geometry의 발견 (19세기 초반):

  • 기존의 사람들은 기하학의 발전은 유클리드 기하학을 확장함으로써 이루어질 것으로 간주
  • 하지만 비유클리드 기하학이 가능하다는 것을 알게 됨
  • 비유클리드 기하학이 가져온 충격의 근본적 이유: 수학은 실제 세상을 연구하는 학문이 아니었다는 깨달음

부울 논리 (19세기 후반):

집합론과 무한 개념의 발전 (19세기 후반):

  • 위 흐름과는 별개로 Georg Cantor(대각선 논증의 그 Cantor)의 집합론이 발전
  • 집합을 통해 다양한 종류의 무한(infinities)에 대해 정의할 수 있게 되었음
  • 기존에는 모든 무한 집합은 크기가 같은 것으로 간주하였으나 Cantor에 의해 부정됨(countable sets, uncountable sets, ...)

문제:

  • 하지만 집합론은 더 큰 문제를 담고 있었음. 가장 대표적으로는 Russell's paradox
    • 모든 집합은 자기 자신을 포함하거나, 포함하지 않는다.
    • \(R = \{x \mid x = \mbox{ 자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합 } \}\)
    • Paradox: R은 R의 원소인가 아닌가?
  • 러셀 패러독스의 영어 버전:
    • 형용사를 자기설명적 형용사(autological)와 그렇지 않은 형용사(heterological)로 나누기: awkwardnessful vs. incomplete
    • Paradox: "heterological"은 heterological한가?
  • 문제들의 공통점은 자기참조(self-reference) 또는 이상한 고리:

이상한 고리를 찾는 것은 생각보다 간단하지 않음:

The following sentence is false. The preceding sentence is true.

위 인용에서 각 문장은 올바를 뿐 아니라 실제로 쓰일 수 있음. 하지만 전체를 보면 역설. 에셔의 작품들도 마찬가지. 예를 들어 "Ascending and Descending"의 각 계단을 하나씩 보면 다 정상

Banishing Strange Loops #

Russell과 Whitehead가 Principia Mathematica에서 시도한 것이 바로 논리, 집합론, 수론에서 이상한 고리를 제거하는 작업.

기본적인 아이디어:

  • 가장 낮은 타입(type)의 집합은 집합이 아닌 개체(object)만 포함할 수 있음
  • 그 다음 단계 타입의 집합은 가장 낮은 타입의 집합 또는 개체만 포함할 수 있음
  • ...

이 아이디어를 일상 언어에 적용해보면:

  • 가장 낮은 단계에는 목적 언어(object language)가 있음. 목적 언어로는 특정 영역(이를테면 세상)에 대해서만 이야기할 수 있고, 목적 언어 자체에 대해 이야기할 수 없음
  • 목적 언어에 대해 이야기할 수 있는 메타언어(metalanguage)가 있음
  • 메타언어에 대해 이야기할 수 있는 메타메타언어(metametalanguage)가 있음
  • ...

Epimenides paradox에 적용해보기:

  • Epimenides paradox는 자기 자신에 대해 언급하고 있으므로 규칙 위반. 따라서 아예 문장이 아님. 즉, 의미없음(meaningless)
  • "The following sentence is false / The preceding sentence is true"도 마찬가지. 첫 문장이 다음 문장에 대해 언급하므로 다음 문장은 첫 문장보다 낮은 수준이어야 함. 하지만 다음 문장이 첫 문장을 언급하므로 첫 문장은 다음 문장보다 낮은 수준이어야 함. 규칙 위반.

단 이 시스템 하에서는 우리가 자연스럽다고 여기는 수많은 문장들이 배제됨:

  • "나는 이 책에서 타입 이론을 비판하고 있다"
    • 내가 나를 언급하면 안됨
    • 이 책에 대한 이야기를 이 책에 적으면 안됨

위와 같은 주제들이 1900년대 초반 수학자/철학자/논리학자들의 고민. 특히:

  • 수론이 과연 탄탄한 기반 위에 수립되어 있는게 맞나?
  • 집합론 같은 기본적인 이론에서도 역설이 나타나는데 다른 이론에는 없을까?
  • Epimenides paradox가 혹시 수학 자체의 내제된 성질이면 어쩌지?

메타수학(metamathematics) 또는 메타논리학(metalogic)의 탄생:

  • 가장 시급한 문제는 수학적 추론의 본질에 대해 연구하는 것
  • 올바른 추론 절차를 어떻게 정의할 것인지
  • 모호한 자연언어가 아니라 형식화된 언어로 수학적 논리를 기술할 수 있는지
  • 등등

Consistency, Completeness, Hilbert's Program #

Principia Mathematica의 목표:

  • 형식적으로 엄격한 논리에 기반하여 모든 수학을 유도(derive)하는 것
  • 모순 없이

하지만 아무도 이 두가지에 대해 확신할 수 없었음. David Hilbert가 국제수학자회의( International Congress of Mathematicians)에서 던진 질문:

  • Completeness: 정말 "모든" 수학 이론이 유도될 수 있는가?
  • Consistency: 정말 모순이 없나? 정말 공리와 규칙을 따라 유도된 정리들이 서로 무모순인가?
  • Hilbert's Program: 유한한 수단(finitistic modes)만 사용하여 이 두 가지(completeness, consistency)를 증명하고자 함

드디어 괴델:

  • 어떤 공리체계이건, 수론의 모든 참인 명제를 생산(produce)할 수 없음 (첫번째 정리)
    • "Any effectively generated theory capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statement that is true, but not provable in the theory."
  • 어떤 공리체계이건, 그 공리체계 스스로의 consistency를 증명할 수 있다면 해당 체계가 inconsistent할 수 밖에 없음 (두번째 정리)
    • "For any formal effectively generated theory T including basic arithmetical truths and also certain truths about formal provability, if T includes a statement of its own consistency then T is inconsistent."
  • 아이러니: P.M.이 완전히 방어했다고 여겼던 Epimenides paradox를 P.M.에 집어넣음

Babbage, Computers, Artificial Intelligence... #

괴델의 논문이 나올즈음 전자컴퓨터가 개발되어 기계적 계산 엔진(mechanical calculating engine)도 나타남. (19세기에 "computer"는 계산 공장에서 일하는 노동자들)

Charles Babbage:

  • 차분기관과 분석기관을 설계
  • 차분기관은 만들었으나 분석기관은 그가 죽기 전에 만들어지지 않음

그의 절친 Ada Lovelace:

  • 분석기관이 숫자 이외의 것도 다룰 수 있을 것. 이를테면 연주
  • 하지만 작곡으로 한다거나 이해한다거나 하지는 못하고 기계적으로 수행할 뿐이라고 제한

Alan Turing:

  • 괴델의 정리에 대응되는 증명을 컴퓨터 분야에서도 발견(Halting problem)
  • 아이러니는 그럼에도 불구하고 컴퓨터가 할 수 있는 일의 범위는 컴퓨터를 고안한 사람들이 생각했던 것에 비해 점점 더 많아지고 있음(그렇다고 증명이 틀린 것은 아니고)

생각하는 기계에 다가가려는 시도들이 계속 이루어짐. 하지만 아무도 "지능"이 뭔지, 지능이 있음과 없음 사이의 경계가 어디인지 정의하지 못했음. 경계가 있을 것이라는 생각 자체가 어쩌면 우스운 것일지도.

지능이라고 할만한 행위의 몇 가지 예시:

  • 상황에 유연하게 대처하기
  • 유리한 상황을 잘 활용하기
  • 모순적이거나 모호한 메시지를 이해하기
  • 여러 요소들 사이에서 상대적 중요성을 인식하기
  • 비슷한 것들 사이에서 차이점 찾아내기
  • 다른 것들 중에서 비슷한점 찾아내기
  • 기존 개념을 새로운 방식으로 엮어서 새로운 개념 만들기
  • 새로운 아이디어 만들어내기

패러독스:

  • AI라는 것은 결국 inflexible한 컴퓨터를 flexible하게 만들려는 시도
  • 이 책의 주된 주제는 inflexible한 체계가 flexible한 결과를 내는 것이 전혀 이상하지 않다는 것을 보이는 것

지능의 위계와 이상한 고리:

  • 지능적 행위에는 위계가 있을 것
  • 위계에는 당연히 이상한 고리도 존재

...and Bach #

Johann Michael Schmidt가 바흐 사후 4년 뒤인 1754년에 쓴 글:

  • 음악을 연주하는 인형
  • 하지만 음악을 감상하는 등 창의적 행동을 하지는 못할 것

그 후 200년이 지났으나 여전히 "지능"을 둘러싼 전투는 계속 진행 중

"Gödel, Escher, Bach" #

책의 구성에 대한 소개

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